jueves, 6 de febrero de 2014

ROTACION CUERPOS RÍGIDOS

INTRODUCCIÓN
La rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.
El estudio de un cuerpo rígido es un caso especial e importante de los sistemas formados por muchas partículas, en el cual las distancias relativas entre ellas permanecen constantes y en un volumen infinitesimal hay suficiente número de partículas como para considerarlo un continuo. Es conveniente postular que las tensiones no modifican la posición relativa de las partículas y que la temperatura del sólido es constante.
El estudio del movimiento del cuerpo rígido, es sin duda, de mucho más complejidad que el de una partícula.
Los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido, pueden agruparse convenientemente de la siguiente forma:
a) Traslación.
b) Rotación alrededor de un eje fijo.
c) Movimiento en un plano.
d) Movimiento alrededor de un punto fijo.
e) Movimiento general.
VELOCIDAD Y ACELERACION ANGULAR
·         Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra Descripción: \omega \, (omega minúscula) y viene definida como:

Descripción: \omega =\lim _{{\Delta t\to 0}}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}=\lim _{{\Delta t\to 0}}{\frac {\varphi _{f}-\varphi _{o}}{t_{f}-t_{o}}}\qquad {\mbox{ ó }}\qquad \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}
Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).
·        Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si Descripción: v_{t} es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

Descripción: v_{t}=\omega \,R
Aceleración angular
La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: Descripción: \alpha \, y se la calcula:

Descripción: \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}
Si at es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:
Descripción: a_{t}=R\,\alpha \;

MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angularlongitudinal de un sólido rígido.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Descripción: I = \sum m_ir_i^2 \,
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

Descripción: I = \int_m r^2 dm = \int_V \rho r^2 \,dV
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: Descripción: \scriptstyle{F = m a} tiene como equivalente para la rotación:
Descripción: \tau = I \alpha\,
donde:
·        Descripción: \scriptstyle{\tau} es el momento aplicado al cuerpo.
·        Descripción: \scriptstyle{I} es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
·        Descripción: \textstyle{\alpha={d^2\theta\over dt^2}} es la aceleración angular.
Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es Descripción: \scriptstyle{{1\over 2}mv^2}, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es Descripción: \scriptstyle{{1\over 2}I\omega^2}, donde Descripción: I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular Descripción: \scriptstyle{\vec L}:
Descripción: \vec L = I\vec \omega
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular Descripción: \scriptstyle{\vec \omega}. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

TRABAJO Y POTENCIA DE LA ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS
Para un cuerpo rígido que gira en torno a un eje fijo que pasa por Ο, como se
ve en la figura 8.5. Si una fuerza externa F se aplica en un punto Q del cuerpo
rígido a un distancia r de Ο, el trabajo realizado por F cuando el objeto gira
una distancia infinitesimal ds = rdθ es:
dW =F·ds =( F senφ) rdθ = Ft rdθ
donde F senφ = Ft es la componente tangencial de F o la componente de la
fuerza a lo largo del desplazamiento ds, que es la componente que realiza trabajo.
La componente radial de F no realiza trabajo porque es perpendicular
al desplazamiento. Como el torque es: τ = r F senφ, el trabajo se escribe:

dW = τ dθ,

integrando, se obtiene:


W= ∫f τdθ           
         i

El trabajo de rotación es análogo el de traslación W= ∫f  F dr
                                                                              i

La potencia con la cual se realiza el trabajo es dW = t dθ
                                                                     dt        dt

Como dW/dt = P y dθ/dt = ω, la potencia instantánea es:

P =  dW  = τω,
                                                                                 dt

expresión análoga el cono del movimiento lineal P =Fv.
Tomando ahora la expresión del torque rotacional τ = Iα, aplicando la regla de
la cadena:
 t = Iα = I dω = I dω  dθ  = Iω  dω
               dt       dθ   dt          dθ
Al reagrupar esta expresión y considerando que τ dθ = dW ⇒ dW = Iωdω.
Integrando se encuentra el trabajo total realizado durante la rotación:

W=  ∫f τdθ    ∫f Iω dω  = 1  Iω2 f -     1  Iω2 i   
        i          i              2               2    

Por lo tanto, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas al hacer girar un

cuerpo rígido es igual a la variación de energía cinética rotacional del objeto.
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