FISICA CEU

jueves, 6 de febrero de 2014

FISICA II CEU PRIMER PARCIAL

INDICE

1.- MOVIMIENTO CIRCULAR
1.1.- VELOCIDAD Y ACELERACION ANGULAR
1.2.- FUERZA CENTRIPETA
1.3.- PENDULO CONICO
1.4.- CAMPO GRAVITACIONAL
1.5.- SATELITES DE ORBITA CIRCULAR

2.- ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS
2.1.- VELOCIDAD Y ACELERACION ANGULAR
2.2.- MOMENTO DE INERCIA
2.3.- TRABAJO Y POTENCIA DE LA ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS

MOVIMIENTO CIRCULAR

En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce elmovimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

· Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).

· Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es elradián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).

· Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, $Descripción: \omega$ ).

· Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, $Descripción: \alpha$ ).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes:

· Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).

· Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.

· Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

VELOCIDAD Y ACELERACION ANGULAR

· Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra $Descripción: \omega \,$ (omega minúscula) y viene definida como:

$Descripción: \omega =\lim _{{\Delta t\to 0}}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}=\lim _{{\Delta t\to 0}}{\frac {\varphi _{f}-\varphi _{o}}{t_{f}-t_{o}}}\qquad {\mbox{ ó }}\qquad \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}$

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

· Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si $Descripción: v_{t}$ es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

$Descripción: v_{t}=\omega \,R$

Aceleración angular

La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: $Descripción: \alpha \,$ y se la calcula:

$Descripción: \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}$

Si a_t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

$Descripción: a_{t}=R\,\alpha \;$

FUERZA CENTRIPETA

La aceleración centrípeta o aceleración normal afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. Se define como:

$Descripción: a_{c}=a_{n}={\frac {v_{t}^{2}}{R}}=\omega ^{2}R$

La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton ( $Descripción: {\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

$Descripción: F_{c}=ma_{c}={\frac {mV^{2}}{r}}=m\omega ^{2}r$

Mecánica relativista

En mecánica clásica la aceleración y la fuerza en un movimiento circular siempre son vectores paralelos, debido a la forma concreta que toma la segunda ley de Newton. Sin embargo, en relatividad especial la aceleración y la fuerza en un movimiento circular no son vectores paralelos a menos que se trate de un movimiento circular uniforme. Si el ángulo formado por la velocidad en un momento dado es $Descripción: \scriptstyle \alpha$ entonces el ángulo $Descripción: \scriptstyle \beta$ formado por la fuerza y la aceleración es:

$Descripción: \cos \beta ={\frac {1+{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}(1-\cos ^{2}\alpha )}{{\sqrt {\left(1+{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}(1-\cos ^{2}\alpha )\right)^{2}+{\cfrac {v^{4}}{c^{4}}}\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\alpha }}}}$

Para el movimiento rectilineo se tiene que $Descripción: \scriptstyle \sin \alpha =0$ y por tanto $Descripción: \scriptstyle \beta =0$ y para el movimiento circular uniforme se tiene $Descripción: \scriptstyle \cos \alpha =0$ y por tanto también $Descripción: \scriptstyle \beta =0$ . En el resto de casos $Descripción: \scriptstyle \beta \neq 0$ . Para velocidades muy pequeñas y ángulos expresados en radianes se tiene:

$Descripción: \beta \approx {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cos \alpha \sin \alpha +O\left({\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)$

MOVIMIENTO CIRCULAR 2° PARTE

PENDULO CONICO

El péndulo cónico está constituido por un cuerpo pesado de pequeñas dimensiones (puntual, idealmente) suspendido de un punto fijo mediante un hilo inextensible y de masa despreciable. Su construcción es la misma que la de un péndulo simple, pero, a diferencia de éste, el péndulo cónico no oscila, sino que la masa pendular describe una trayectoria circular en un plano horizontal con aceleración constante. Su nombre proviene del hecho de que el hilo traza una superficie cónica.

El péndulo cónico es un caso particular del péndulo esférico. En concreto es un péndulo esférico en el que el vector velocidad (inicial) es perpendicular al plano determinado por la vertical y el hilo.

El científico inglés Robert Hooke fue el primero en estudiar las características de este péndulo, en 1660.

Consideremos un péndulo cónico consistente en una pequeña esfera de masa m que se mueve sin fricción en una circunferencia horizontal con una celeridad constante v, suspendida de un hilo de longitud L que forma un ángulo constante θ con la vertical.

Sobre la masa m actúan dos fuerzas: su propio peso, mg, y la tensión del hilo, T.

La componente horizontal de la tensión del hilo proporciona la aceleración centrípeta, $Descripción: a_{{\text{cp}}}\,\;$ , asociada con el movimiento circular. La componente vertical de la tensión se compensa exactamente con el peso de la masa m. La aplicación de la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical nos permite escribir:

$Descripción: T\sin \theta =ma_{{\text{cp}}}={\frac {mv^{2}}{r}}\,$

$Descripción: T\cos \theta =mg\,$

Dividiendo miembro a miembros estas dos ecuaciones, eliminamos T y m, resultando:

$Descripción: \tan \theta ={\frac {v^{2}}{rg}}\qquad \Rightarrow \qquad v^{2}=rg\tan \theta$

Puesto que la celeridad v es constante, puede expresarse en función del tiempo $Descripción: T_{{\text{p}}}\,$ requerido para realizar una revolución completa o periodo de revolución,

$Descripción: v={\frac {2\pi r}{T_{{\text{p}}}}}$

y sustituyendo en la ecuación (3), después de fáciles operaciones, obtenemos:

$Descripción: T_{{\text{p}}}=2\pi {\sqrt {{\frac {r}{g\tan \theta }}}}$

En la ejecución práctica de la experiencia, r varía y no es tan fácil de medir como la longitud constante L del hilo. Recurriendo a la relación trigonométria entre r, h, y L, esto es, $Descripción: r=L\sin \theta \,$ , la relación (5) se escribe en la forma:

$Descripción: T_{{\text{p}}}=2\pi {\sqrt {{\frac {L\cos \theta }{g}}}}$

Para pequeños ángulos será cos(θ) ≈ 1 y el periodo de revolución del péndulo cónico resulta ser casi igual al periodo de oscilación del péndulo simple de la misma longitud. Además, para pequeños ángulos, el periodo de revolución es aproximadamente independiente del valor del ángulo θ, lo que significa que, a pesar de que el ángulo vaya disminuyendo (por fricción con el aire, por ejemplo), el periodo permanece prácticamente constante. Esta propiedad, llamada isocronismo, la poseen también los péndulos ordinarios.

CAMPO GRAVITACIONAL

En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la gravedad. Si se dispone en cierta región del espacio una masa M, el espacio alrededor de Madquiere ciertas características que no disponía cuando no estaba M. Este hecho se puede comprobar acercando otra masa m y constatando que se produce la interacción. A la situación física que produce la masa M se la denomina campo gravitatorio. Afirmar que existe algo alrededor de M es puramente especulativo, ya que sólo se nota el campo cuando se coloca la otra masa m, a la que se llama masa testigo. El tratamiento que recibe este campo es diferente según las necesidades del problema:

· En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por un campo vectorial.

· En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de segundo orden.

SATELITES EN ORBITA CIRCULAR

Aquellos cuya trayectoria es circular y centro de giro es el centro de la tierra (o del planeta alrededor del cual giran)

la alternativa son los satélites de órbita elíptica en los que la trayectoria es una elipse y el centro del planeta está en uno de los focos de la elipse, por ejemplo, la tierra gira alrededor del sol siguiendo una elipse uno de coyos focos es el centro de masas del sol

ROTACION CUERPOS RÍGIDOS

INTRODUCCIÓN
La rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.
El estudio de un cuerpo rígido es un caso especial e importante de los sistemas formados por muchas partículas, en el cual las distancias relativas entre ellas permanecen constantes y en un volumen infinitesimal hay suficiente número de partículas como para considerarlo un continuo. Es conveniente postular que las tensiones no modifican la posición relativa de las partículas y que la temperatura del sólido es constante.
El estudio del movimiento del cuerpo rígido, es sin duda, de mucho más complejidad que el de una partícula.
Los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido, pueden agruparse convenientemente de la siguiente forma:
a) Traslación.
b) Rotación alrededor de un eje fijo.
c) Movimiento en un plano.
d) Movimiento alrededor de un punto fijo.
e) Movimiento general.

VELOCIDAD Y ACELERACION ANGULAR

· Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra $Descripción: \omega \,$ (omega minúscula) y viene definida como:

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

$Descripción: v_{t}=\omega \,R$

Aceleración angular

La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: $Descripción: \alpha \,$ y se la calcula:

$Descripción: \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}$

Si a_t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

$Descripción: a_{t}=R\,\alpha \;$

MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angularlongitudinal de un sólido rígido.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

$Descripción: I = \sum m_ir_i^2 \,$

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

$Descripción: I = \int_m r^2 dm = \int_V \rho r^2 \,dV$

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: $Descripción: \scriptstyle{F = m a}$ tiene como equivalente para la rotación:

$Descripción: \tau = I \alpha\,$

donde:

· $Descripción: \scriptstyle{\tau}$ es el momento aplicado al cuerpo.

· $Descripción: \scriptstyle{I}$ es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

· $Descripción: \textstyle{\alpha={d^2\theta\over dt^2}}$ es la aceleración angular.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es $Descripción: \scriptstyle{{1\over 2}mv^2}$ , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es $Descripción: \scriptstyle{{1\over 2}I\omega^2}$ , donde

es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular $Descripción: \scriptstyle{\vec L}$ :

$Descripción: \vec L = I\vec \omega$

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular $Descripción: \scriptstyle{\vec \omega}$ . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

TRABAJO Y POTENCIA DE LA ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS

Para un cuerpo rígido que gira en torno a un eje fijo que pasa por Ο, como se

ve en la figura 8.5. Si una fuerza externa F se aplica en un punto Q del cuerpo

rígido a un distancia r de Ο, el trabajo realizado por F cuando el objeto gira

una distancia infinitesimal ds = rdθ es:

dW =F·ds =( F senφ) rdθ = Ft rdθ

donde F senφ = Ft es la componente tangencial de F o la componente de la

fuerza a lo largo del desplazamiento ds, que es la componente que realiza trabajo.

La componente radial de F no realiza trabajo porque es perpendicular

al desplazamiento. Como el torque es: τ = r F senφ, el trabajo se escribe:

dW = τ dθ,

integrando, se obtiene:

W= ∫f τdθ

El trabajo de rotación es análogo el de traslación W= ∫f F dr

La potencia con la cual se realiza el trabajo es dW = t dθ

dt dt

Como dW/dt = P y dθ/dt = ω, la potencia instantánea es:

P = dW = τω,

expresión análoga el cono del movimiento lineal P =Fv.

Tomando ahora la expresión del torque rotacional τ = Iα, aplicando la regla de

la cadena:

t = Iα = I dω = I dω dθ = Iω dω

dt dθ dt dθ

Al reagrupar esta expresión y considerando que τ dθ = dW ⇒ dW = Iωdω.

Integrando se encuentra el trabajo total realizado durante la rotación:

W= ∫f τdθ ∫f Iω dω = 1 Iω2 f - 1 Iω2 i

i i 2 2

Por lo tanto, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas al hacer girar un

cuerpo rígido es igual a la variación de energía cinética rotacional del objeto.